Question

19．已知关于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；
（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；
（2）根据根的判别式的符号进行论证；
（3）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．

解答 解：（1）把x=1代入x²-（k+2）x+2k=0，得
1-k-2+2k=0，
解得k=1．
设方程的另一根为t，则
t=2k=2．
即k的值为1，方程的另一根为2；

（2）∵△=（k-2）²≥0，
∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；

（3）此方程的两根为x₁=k，x₂=2
若x₁≠x₂，则x₁=5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．
若x₁=x₂=2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为12．

点评 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．