【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线 BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交 AB于点F.
(1)求证:AE为⊙O的切线.
(2)当BC=8,AC=12时,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)3;(3)2.
【解析】试题分析:(1)连接OM.利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为R,根据OM∥BE,得到△OMA∽△BEA,利用平行线的性质得到,即可解得R=3,从而求得⊙O的半径为3;
(3)过点O作OH⊥BG于点H,则BG=2BH,根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°,得到四边形OMEH是矩形,从而得到HE=OM=3和BH=1,证得结论BG=2BH=2.
试题解析:(1)证明:连接OM.
∵AC=AB,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC,CE=BE=BC=4,
∵OB=OM,
∴∠OBM=∠OMB,
∵BM平分∠ABC,
∴∠OBM=∠CBM,
∴∠OMB=∠CBM,
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC,
∴AE⊥OM,
∴AE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为R,
∵OM∥BE,
∴△OMA∽△BEA,
∴即,
解得R=3,
∴⊙O的半径为3;
(3)过点O作OH⊥BG于点H,则BG=2BH,
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°,
∴四边形OMEH是矩形,
∴HE=OM=3,
∴BH=1,
∴BG=2BH=2.
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【题目】问题发现
在等腰三角形ABC中,,分别以AB和AC为斜边,向的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中于点F,于点G,M是BC的中点,连接MD和ME.
填空:线段AF,AG,AB之间的数量关系是______;
线段MD,ME之间的数量关系是______.
拓展探究
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由;
解决问题
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,若,请直接写出线段DE的长.
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【题目】阅读材料:
学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.
小明的方法:
∵<<,
设=3+k(0<k<1).
∴.
∴13=9+6k+k2.
∴13≈9+6k.
解得 k≈.
∴≈3+≈3.67.
问题:
(1)请你依照小明的方法,估算的近似值;
(2)请结合上述具体实例,概括出估算的公式:已知非负整数a、b、m,若a<<a+1,且m=a2+b,则≈ (用含a、b的代数式表示);
(3)请用(2)中的结论估算的近似值.
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【题目】作图题:
(1)为进一步打造“宜居北京”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉 到广场的两个入口 , 的距离相等,且到广场管理处 的距离等于 和 之间距离的一半,,, 的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 的位置.(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
(2)如图,两条公路 和 相交于 点,在 的内部有工厂 和 ,现要修建一个货站 ,使货站 到两条公路 , 的距离相等,且到两工厂 , 的距离相等,用尺规作出货站 的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
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【题目】现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):
步数 | 频数 | 频率 |
0≤x<4000 | 8 | a |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | b |
12000≤x<16000 | c | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | d | 0.04 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出a,b,c,d的值并补全频数分布直方图;
(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?
(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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【题目】如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和三角尺画图:
(1)补全△A′B′C′
(2)画出AC边上的中线BD;
(3)画出AC边上的高线BE;
(4)求△ABD的面积 .
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【题目】如图,已知四边形ABCD中,AB=12厘米,BC=8厘米,CD=14厘米,∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为_____厘米/秒时,能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等.
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