Question

已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点D是

BC

的中点，连接BD并延长BD到点E，使BD=DE，连接CD和DE．
（1）求证：△CDE是正三角形．
（2）问：△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形？请在图中直接画出△CDE变换后的对应三角形△CD'E'，并求出△CD'E'与△ABC的位似比．

Answer 1

分析：（1）利用圆内接四边形的性质可以求得∠BDC的度数，然后利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以判定等边三角形；
（2）当CD与CA重合时，两三角形位似，所以当旋转∠ACD的度数的时候，两三角形位似，位似比等于CD与CA的比．∠B

解答：解：（1）证明：∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CDE=60°，
∵点D是

BC

的中点，
∴BD=CD，
∵BD=DE，
∴CD=DE，
∴△CDE是正三角形；

（2）如图：当△CDE绕点C旋转∠ACD的度数时与△ABC成位似图形，
∵∠BDC=120°，BD=CD，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=90°，
∴当△CDE绕点C旋转90°时与△ABC成位似图形，
作DF⊥BC于F点，
设DC=2x，
∵∠BCD=30°，
∴FC=

3

x，
∴BC=2FC=2

3

x，
∴位似比=

DC

AC

=

DC

BC

=

2x

2 3 x

=

3

3

，
∴位似比为

3

3

．

点评：本题考查了位似变换、等边三角形的判定及性质、圆心角、弦、弧之间的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的性质得到∠BDC的度数．