Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，点E在x轴的正半轴上，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且G为BC弧的中点，若点A的坐标为（-2，0），AE=4
（1）求点C的坐标；
（2）求∠CAG的度数；
（3）若F点的坐标为（10，0），问直线FG与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）OC是直角△ABC斜边上的高线，利用射影定理即可求得OC的长，从而确定C的坐标；
（2）Rt△AOC中，求得∠CAO的度数，根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（3）证明∠EGF=90°，即可证得FG是⊙E的切线．

解答：解：（1）∵AB是直径，则∠ACB=90°，
∴CO⊥AB，AO=2，OB=6，
∴CO²=AO•OB=2×6=12，
∴CO=2

3

或CO=-2

3

（舍去），
∴C（0，2

3

）；（3分）

（2）Rt△AOC中，tan∠CAO=

CO

AO

=

2 3

2

=

3

，
∴∠CAO=60°，
∵G为的中点，
∴∠CAG=∠CAO=30°．（6分）

（3）FG与⊙E相切．
连接BG，则∠AGB=90°，∠GAB=30°，
∴BG=

1

2

AB=4，BF=OF-OB=4，
∴BG=BF，
∴∠BFG=∠BGF=30°，
连接EG，∠EGB=60°．
∴∠EGF=60°+30°=90°，
∴FG是⊙E的切线（9分）．

点评：本题主要考查了射影定理，三角函数以及切线的判定，正确利用射影定理是解题关键．