Question

10．如图所示，△OAB为正三角形，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，直径FC∥AB，AO，BO的延长线分别交⊙O于点D，E．
求证：六边形ABCDEF是正六边形．

Answer 1

分析 由正三角形的性质得出∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，由平行线的性质得出圆心角相等∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出弧相等、弦相等，再由圆周角定理证出∠BAF=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA，即可得出结论．

解答 证明：∵△OAB是正三角形，
∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵FC∥AB，
∴∠AOF=∠A=60°，∠BOC=∠B=60°，
∴∠DOE=∠AOB=60°，∠COD=∠AOF=60°，∠EOF=∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}=\widehat{EF}=\widehat{AF}$，AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴$\widehat{BDF}=\widehat{CDA}=\widehat{DEB}=\widehat{EFC}$=$\widehat{FAD}=\widehat{ABE}$，
∴∠BAF=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA，
∴六边形ABCDEF是正六边形．

点评 本题考查了正六边形和圆、正三角形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理；本题综合性强，运用圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解决问题的关键．