Question

已知关于x的一元二次方程（m+1）x²+2mx+m-3=0总有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若m在取值范围内取最小整数时，求：3x-2（1-4x）的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x²+2mx+m-3=0总有实数根，
∴m+1≠0且△≥0，即4m²-4（m+1）×（m-3）≥0，解得m≥-，
∴m的取值范围为m≥-且m≠-1；
（2）∵m的取值范围为m≥-且m≠-1，
∴m的最小整数为0，
∴方程变形为：x²-3=0，
∴x=±，
∴3x-2（1-4x）=3x-2+8x=11x-2
当x=时，原式=11-2；
当x=-时，原式=11-2．
分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac的意义得到m+1≠0且△≥0，即4m²-4（m+1）×（m-3）≥0，然后解两个不等式即可得到m的取值范围；
（2）在（1）中m的取值范围中找到最小整数为0，则方程变形为：x²-3=0，得到x=±，然后把3x-2（1-4x）化简后分别代入x=±即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有两实数根．