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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不含B、C两点),将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的有 (写出所有正确结论的序号)

①△CMP∽△BPA;

②四边形AMCB的面积最大值为10;

③当P为BC中点时,AE为线段NP的中垂线;

④线段AM的最小值为

⑤当△ABP≌△ADN时,BP=

【答案】①②⑤.

【解析】

试题分析:∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,∵∠CPN+∠NPB=180°,∴2∠NPM+2∠APE=180°,∴∠MPN+∠APE=90°,∴∠APM=90°,∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPM=∠PAB,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°,∴△CMP∽△BPA.故①正确,设PB=x,则CP=4﹣x,∵△CMP∽△BPA,∴,∴CM=x(4﹣x),∴S四边形AMCB=[4+x(4﹣x)]×4==,∴x=2时,四边形AMCB面积最大值为10,故②正确,当PB=PC=PE=2时,设ND=NE=y,在RT△PCN中,解得,∴NE≠EP,故③错误,作MG⊥AB于G,∵AM==,∴AG最小时AM最小,∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x(4﹣x)=,∴x=1时,AG最小值=3,∴AM的最小值==5,故④错误.

∵△ABP≌△ADN时,∴∠PAB=∠DAN=22.5°,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z,∴∠KPA=∠KAP=22.5°.∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,∴∠BPK=∠BKP=45°,∴PB=BK=z,AK=PK=z,∴z+z=4,∴z=,∴PB=故⑤正确.

故答案为:①②⑤.

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