Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=﹣2．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A，点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（﹣6，0）

（2）解：∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上

∴c=8，将A（﹣6，0）、B（2，0）代入表达式，

得：

解得

∴所求抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣ x+8

（3）解：依题意，AE=m，则BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

∴ = ，即 =

∴EF= （6分）

过点F作FG⊥AB，垂足为G，

则sin∠FEG=sin∠CAB=

∴ =

∴FG= =8﹣m

∴S=S△BCE﹣S△BFE

= （8﹣m）×8﹣ （8﹣m）（8﹣m）

= （8﹣m）（8﹣8+m）

= （8﹣m）m

=﹣ m2+4m

自变量m的取值范围是0＜m＜8

（4）解：存在．

理由：∵S=﹣ m2+4m=﹣ （m﹣4）2+8且﹣ ＜0，

∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 （10分）

∵m=4，

∴点E的坐标为（﹣2，0）

∴△BCE为等腰三角形．

【解析】（1）先解关于x的一元二次方程，得到线段OB、OC的长，从而可得到B、C两点坐标，根据抛物线的对称性可得点A坐标；
（2）把A、B、C三点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，从而可求得二次函数解析式；
（3）依据图形可得到S△EFF=S△BCE-S△BFE，从而可得到S与m的函数关系；
（4）利用二次函数求出最值，进而求得点E坐标．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形.