Question

k为何值时，函数y=-

5

4

x+

k

2

+

1

4

与y=-

2

3

x+

k

3

的图象的交点位于第四象限？当函数图象的交点在第四象限，且k取正整数值时，求两直线与x轴所围成的三角形的面积．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：将两直线方程联立求解x、y（用含k的式子表示），根据第四象限的点的坐标特点横坐标大于0，纵坐标小于0可得出k的取值范围．然后根据k取正整数值时，确定k的值，进而求出交点坐标、两直线与x轴的交点坐标，最后根据三角形的面积公式计算即可．

解答：解：由题意得：

y=- 5 4 x+ k 2 + 1 4 ① y=- 2 3 x+ k 3 ②

，
解得：

x= 2k+3 7 y= 3k-6 21

，
因为两直线交点在第四象限，所以x＞0，y＜0，
即：

2k+3 7 ＞0① 3k-6 21 ＜0②

，
解得：

k＞- 3 2 k＜2

，
所以当-

3

2

＜k＜2时，函数y=-

5

4

x+

k

2

+

1

4

与y=-

2

3

x+

k

3

的图象的交点位于第四象限；
因为k取正整数值，
所以k=1，
当k=1时，两直线为：
y=-

5

4

x+

3

4

，y=-

2

3

x+

1

3

．
分别令y=-

5

4

x+

3

4

，y=-

2

3

x+

1

3

．中的y=0，得：
x=

3

5

，x=

1

2

．
所以两直线y=-

5

4

x+

3

4

，y=-

2

3

x+

1

3

．与x轴的交点坐标分别为A（

3

5

，0），B（

1

2

，0），
将两直线联立方程组：

y=- 5 4 x+ 3 4 ① y=- 2 3 x+ 1 3 ②

，
解得：

x= 5 7 y=- 1 7

，
所以两直线的交点为：P（

5

7

，-

1

7

），
将两直线的图象画在同一个平面直角坐标系内：

所以两直线与x轴所围成的三角形的面积为：
S△ABP=

1

2

•（

3

5

-

1

2

）•

1

7

=

1

2

×

1

10

×

1

7

=

1

140

点评：本题考查了在给出直线方程的条件下求解交点的问题、及求两直线与x轴所围成的三角形的面积的问题，关键要知道用联立求解的方法确定交点，属于比较典型的题目．