Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是切线，AC⊥CD，DE⊥AB，求证：DE²=AC•FC．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接OD，BE，交于点G，则可知四边形CDGF为矩形，CD=FG=GB，可证明△OBG≌△ODE，可知DE=CD，结合切割线定理可得出结论．

解答：证明：
连接OD，BE，交于点G，
∵CD是切线，
∴∠ODC=90°，
∵AB为直径，
∴∠CFB=90°，且AC⊥CD，
∴四边形CDGF为矩形，
∴CD=FG，OD∥AC，
∵O为AB中点，
∴G为BF中点，
∴BG=FG=CD，
在△OBG和△ODE中

∠BOG=∠DOE ∠BGO=∠DEO OB=OD

∴△OBG≌△ODE（AAS），
∴CD=DE，
又CD为切线，AC为割线，
∴CD²=AC•CF，
∴DE²=AC•CF．

点评：本题主要考查切线的性质及全等三角形的判定和性质，由条件证明CD=DE是解题的关键．注意切割线定理的应用．