Question

20．如图，D为△ABC的边BC的中点，F为AC边上的点，AF=$\frac{1}{2}$FC，BF交AD于点E．求证：点E为AD的中点．

Answer 1

分析 过D作DG∥AC交BF于G，根据平行线的性质得到∠GDE=∠DAF，等量代换得到DG=AF，推出△AEF≌△DGE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：过D作DG∥AC交BF于G，
∴∠GDE=∠DAF，
∵D为△ABC的边BC的中点，
∴BG=FG，
∴DG=$\frac{1}{2}$CF，
∵AF=$\frac{1}{2}$FC，
∴DG=AF，
在△AEF与△DEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠GDE}\\{∠AEF=∠DEG}\\{AF=DG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DGE，
∴AE=DE，
∴点E为AD的中点．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行线的性质，平行线等分线段定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．