Question

5．如图，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A，E为AB的中点，AB=BC，∠CAB=∠BCA，CE⊥BD．
（1）直线AC是线段DE的垂直平分线吗？说说你的理由；
（2）线段CD与BD相等吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△ABD≌△BCE，得出AD=BE，因此AD=AE=$\frac{1}{2}$BC再证出∠DAC=∠BAC，由等腰三角形的三线合一性质得出AC是线段DE的垂直平分线即可；
（2）作DM⊥BC于M，则AD=BM，得出BM=$\frac{1}{2}$BC，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．

解答 解：（1）直线AC是线段DE的垂直平分线；理由如下：
∵E为AB的中点，AB=BC，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，CE⊥BD，
∴∠BAD=∠CBE=90°，∠ABD+∠CBD=90°，∠CBD+∠BCE=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CBE}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE，
∴AD=AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=90°-45°=45°=∠BAC，
∵AD=AE，
∴直线AC是线段DE的垂直平分线；
（2）CD=BD；理由如下：
作DM⊥BC于M，则AD=BM，如图所示：
∴BM=$\frac{1}{2}$BC，
即M是BC的中点，
∴CD=BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．