Question

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8．动点P从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CD方向，方向，以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CD方向，以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点后即都停止运动，过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ，设点P的运动时间为t秒，△PQM的面积为S．
（1）求当t为何值时，PQ∥BD．
（2）求S与t之间的函数关系式，并确定自变量t的取值范围．
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PQM的面积与矩形ABCD面积的比等于9：32？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理即可列方程求得；
（2）由QM∥AC，利用平行线分线段成比例定理可得$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{DM}{AD}$，则MD即可利用t表示出来，然后利用S=S_梯形MPCD-S_△MDQ-S_△PCQ写出函数解析式；
（3）根据S_△PQM：S_矩形ABCD=9：32，求得△PQM的面积，然后根据（2）即可列方程，解方程求解．

解答 解：（1）∵PQ∥BD，∴$\frac{CP}{BP}$=$\frac{CQ}{DQ}$，即$\frac{8-t}{t}$=$\frac{t}{6-t}$，解得：t=$\frac{24}{7}$；
（2）BP=t，PC=8-t，CQ=t，DQ=6-t，
∵QM∥AC，
∴$\frac{DQ}{DC}$=$\frac{DM}{AD}$，即$\frac{6-t}{t}$=$\frac{DM}{8}$，
∴DM=$\frac{4}{3}$（6-t），
∴S=S_梯形MPCD-S_△MDQ-S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×6×[$\frac{4}{3}$（6-t）+8-t）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$（6-t）²-$\frac{1}{2}$t（8-t）=-$\frac{1}{6}$t²-3t+24．
（3）∵S_矩形ABCD=6×8=48，
又∵S_△PQM：S_矩形ABCD=9：32，
∴S_△PQM=$\frac{27}{2}$．
∴-$\frac{1}{6}$t²-3t+24=$\frac{27}{2}$．
解得：t=3或-21（舍去）．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的性质，利用平行线分线段成比例定理利用t表示出DM，表示出S和t的关系是关键．