Question

17．如图，已知CB是⊙O的直径，点A在圆上，且∠AOB=60°，连接OA，过点A作PA⊥OA交CB的延长线于点P，PA=4$\sqrt{3}$．
（1）求⊙O的半径；  
（2）求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）设OA为x，根据直角三角形的性质用x表示出OP，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据等高的两个三角形的面积比等于对应的底的比解答即可．

解答 解：（1）∵PA⊥OA，∠A0B=60°，
∴∠APO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP，
设OA为x，则OP为2x，
在Rt△OAP中，OA²+PA²=OP²，即x²+（4$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得，x=4，
∴圆的半径为4；
（2）∵OA=4，
∴△AOP的面积为$\frac{1}{2}$×OA×AP=8$\sqrt{3}$，
∵OP=8，OC=4，
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}$×△AOP的面积=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、圆心角定理和勾股定理的应用，掌握等高的两个三角形的面积比等于对应的底的比是解题的关键．