Question

6．在研究问题“已知$\left\{\begin{array}{l}{3a+7b+c=4}\\{a-b-3c=8}\end{array}\right.$，求a+b-c的值．”时，三个同学各提出了自己的看法．甲说：“三个未知数，两个方程，条件不够，不能求出abc的值，a+b-c的值很难确定．”；乙说：“是求a+b-c的值，可以把a+b-c看做一个整体，设a+b-c=m，应该可以求解”；丙说：“可以把其中一个未知数c当做已知量，三元一次方程组化为二元一次方程组，从而求出a，b的表达式，再求a+b-c的值”．
（1）根据他们的说法，请用合适的方法求a+b-c的值；
（2）若已知b≤c，你能确定c²+a-2b是否有最值？若有，请求出最值和相应的a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）把c当做已知量，三元一次方程组化为二元一次方程组，利用加减消元法求得a=6+2c，b=-2-c，即可求得a+b-c=6+2c-2-c-c=4．
（2）先由b=-2-c，b≤c，求得c的取值，然后把a=6+2c，b=-2-c代入代数式，整理变形为c²+a-2b=（c+2）²+6，根据c的取值即可求得有最小值．

解答 解：（1）原方程组变形为$\left\{\begin{array}{l}{3a+7b=4-c①}\\{a-b=8+3c②}\end{array}\right.$，
①-②×3得，10b=-20-10c，
解得b=-2-c，
把b=-2-c代入②得，a=6+2c，
所以a+b-c=6+2c-2-c-c=4．
（2）∵b=-2-c，b≤c，
∴-2-c≤c，
∴-1≤c，
∵a=6+2c，
∴c²+a-2b
=c²+6+2c-2（-2-c）
=c²+4c+4+6
=（c+2）²+6，
∵c≥-1，
∴当c=-1时，c²+a-2b取取到最小值，
此时a=4，b=-1，c=-1，最小值为7．

点评 本题考查了解三元一次方程组以及二次函数的最值，把c当做已知量，三元一次方程组化为二元一次方程组，利用加减消元法求得a=6+2c，b=-2-c是解题的关键．