Question

20．如图，E是正方形ABCD中BC边上的任意一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设∠BAE=α，∠EAF=β．求证：若E是BC的中点，则α=β，AF=AB+CF．

Answer 1

分析 根据同角的余角相等可得∠AEb=∠EFC，∠BAE=∠FEC，然后求出△ABE和△ECF相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{CF}$，然后根据两组边对边对应成比例且夹角相等，证明△AEF∽△ECF，再根据相似三角形对应角相等可得∠FAE=∠FEC，过点E作EH⊥AF于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=HE，利用“HL”证明△ABE和△AHE，根据全等三角形对应边相等可得AB=AH，同理可得FC=FH，然后求出AF=AB+CF．

解答 解：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∴∠BAE=∠FEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{CF}$，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{CF}$，
又∵∠AEF=∠C=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC，
∴∠BAE=∠FAE，
即α=β．
如图，

过点E作EH⊥AF于H，
则BE=HE，
在Rt△ABE和Rt△AHE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{BE=HE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AB=AH，
同理可得△ECF≌△EHF，
∴FC=FH，
∵AF=AH+FH
∴AF=AB+CF．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键．