Question

在距离港口80海里处，有一艘渔船发出求救信息，甲、乙两艘救援船同时接到救援任务，甲船立即出发，乙船因需要等候救援家属，在甲救援船驶离港口5海里时才出发．乙船以10海里/小时的速度匀速行驶，甲船途中因故障维修停船1小时，然后提高速度匀速行驶，到达目的地救援1小时后原路匀速返回与乙船相遇，甲船返回时的速度与提高后的速度相同，图中折线AB-BC-CD-DE-EF，线段OF分别表示甲、乙两船与港口的距离y（海里）与乙船出发时间x（时）之间的图象．
（1）求a的值；
（2）乙船出发多长时间与甲船相遇？
（3）求b的值；
（4）请直接写出在两船第三次相遇前，两船相距10海里时的所有x的值．

Answer 1

考点：一次函数的应用

专题：

分析：（1）由图可知，两船第一次在点B（a，20）相遇，因为乙的速度为10海里/时，根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）由图可知，两个函数图象的交点有3个，所以两船相遇有三次，第一次：在B点相遇，此时时间为2时；第二次：在BF与CD的交点相遇．先利用待定系数法求出CD的解析式为y=20x-40，OF的解析式为y=10x，把y=20x-40代入y=10x，求出x的值为第二次相遇的时间；第三次相遇在F点，则时间为7+（80-70）÷（20+10）=7时20分；
（3）把F点的横坐标代入乙的解析式即可求出b的值；
（4）由图可知，当x≤2时，由于乙船的速度大于甲船的速度，而x=0时，甲在乙前面5海里，所以x≤2时两船不可能相距10海里；当2＜x≤3时，甲船因故障维修，距离港口20海里，乙船距离港口10x海里，由10x-20=10，解得x=3；当3＜x≤6时，甲船追上乙船并且超出乙船10海里，由（20x-40）-10x=10，解得x=5；当6＜x≤7时，甲船距离港口80海里，在目的地救援，乙船距离港口10x海里，由80-10x=10，解得x=7．

解答：解：（1）∵乙船以10海里/时的速度匀速行驶，a小时行驶20海里，
∴a=20÷10=2（小时）；

（2）两船相遇有三次，
第一次：在B点相遇，此时时间为2时；
第二次：在BF与CD的交点相遇．
设直线CD的解析式为y=kx+n，
∵C（3，20），D（6，80），
∴

3k+n=20 6k+n=80

，
解得

k=20 n=-40

．
∴直线CD的解析式为y=20x-40，
∵直线OF的解析式为y=10x，
把y=20x-40代入y=10x，得20x-40=10x，解得x=4，
所以第二次相遇的时间为4时；
第三次相遇在F点．
∵E点横坐标为7，
∴当x=7时，y=10x=70，
∴甲船原路匀速返回与乙船相遇需要的时间为（80-70）÷（20+10）=

1

3

小时=20分钟，
∴第三次相遇的时间7时+

1

3

时=7时20分；

（3）当x=7

1

3

时，b=10x=

220

3

=73

1

3

；

（4）在两船第三次相遇前，两船相距10海里时x的值为3，5，7．

点评：本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，路程、速度与时间之间的关系，两函数交点坐标的求法，难度适中．从图中获取有用信息是解题的关键．