Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，E为AC中点，BE交AD于F．  
（1）求证：

DF

AF

=

EF

BF

；
（2）若四边形CDFE的面积为8，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明DE∥AB，得到△DEF∽△ABF，即可解决问题．
（2）证明S_△ABF=4S_△DEF（设为μ），S_△ABC=4S_△CDE，列出有关面积λ、μ的方程组，解方程组即可解决问题．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD；而AE=CE，
∴DE∥AB，且DE=

1

2

AB；
∴△DEF∽△ABF，
∴

DF

AF

=

EF

BF

．
（2）∵DE∥AB，
∴△ADE与△BDE的面积相等，
∴△AEF与△BDF的面积也相等，设为λ；
∵△DEF∽△ABF，
∴

S△DEF

S△ABF

=(

DE

AB

)2=

1

4

；
∴S_△ABF=4S_△DEF（设为μ），
∴四边形ABDE的面积=2λ+5μ；
同理可证：S_△ABC=4S_△CDE，
∴S△CDE=

1

3

(2λ+5μ)；
∵S_{四边形CDFE}=8，
∴μ+

1

3

(2λ+5μ)=8①；
∵BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，而S_△BDF=S_△AEF，
∴S_△ABF=S_{四边形DCEF}=8，
即4μ=8②，
联立①②并解得：λ=4，μ=4，
∴△ABC的面积=4μ+2λ+8=32．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断；对综合的分析问题解决问题的能力、运算求解能力均提出了一定的要求．