Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为_____．

Answer 1

【答案】2或8

【解析】

分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出DE＝D′E，求出DF＝D′F＝CD﹣CF＝5，CD′＝，得出BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，解法同①．

解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：

由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，

∴DE＝D′E，

∵正方形ABCD的边长是9，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，

∵CF＝4，

∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，

∴CD′＝，

∴BD'＝BC﹣CD'＝6，

设AE＝x，则BE＝9﹣x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+62，

∴92+x2＝(9﹣x)2+62，

解得：x＝2，

即AE＝2；

②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：

由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，

∴DE＝D′E，

∵正方形ABCD的边长是9，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，

∵CF＝4，

∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝，

∴BD'＝BC+CD'＝12，

设AE＝x，则BE＝9﹣x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝(9﹣x)2+122，

∴92+x2＝(9﹣x)2+122，

解得：x＝8，即AE＝8；

综上所述，线段AE的长为2或8；

故答案为：2或8．