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【题目】如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,点EAB 的中点,连接CE交⊙O于点F,连接AF并延长交BC于点H

1)若连接AO,试判断四边形AECO的形状,并说明理由;

2)求证:AH是⊙O的切线;

3AB6CH2,则AH的长为

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)

【解析】

1)根据矩形的性质得到AEOCAEOC即可证明;

2)根据平行四边形的性质得到AODOCFAOFOFC,再根据等腰三角形的性质得到OCFOFC.故可得AODAOF,利用SAS证明AOD≌△AOF,由ADO90°得到AHOF,即可证明;

3)根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,AD=x,AF=x,AH=x+2,BH=x-2,再利用在RtABH中,AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.

1)解:连接AO,四边形AECO是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形,

ABCDABCD

EAB的中点,

AEAB

CDO的直径,

OCCDAEOCAEOC

四边形AECO为平行四边形.

2)证明:由(1)得,四边形AECO为平行四边形,

AOEC

∴∠AODOCFAOFOFC

OFOC

∴∠OCFOFC

∴∠AODAOF

AODAOF中,AOAOAODAOFODOF

∴△AOD≌△AOF

∴∠ADOAFO

四边形ABCD是矩形,

∴∠ADO90°

∴∠AFO90°,即AHOF

FO上,

AHO的切线.

3)∵HCFH为圆O的切线,ADAF是圆O的切线

AD=AF,CH=FH=2,

AD=x,AF=x,AH=x+2,BH=x-2

RtABH中,AH2=AB2+BH2,

即(x+22=62+x-22,

解得x=

AH=+2=.

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