【题目】如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,点E是AB 的中点,连接CE交⊙O于点F,连接AF并延长交BC于点H.
(1)若连接AO,试判断四边形AECO的形状,并说明理由;
(2)求证:AH是⊙O的切线;
(3)若AB=6,CH=2,则AH的长为 .
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)根据矩形的性质得到AE∥OC,AE=OC即可证明;
(2)根据平行四边形的性质得到∠AOD=∠OCF,∠AOF=∠OFC,再根据等腰三角形的性质得到∠OCF=∠OFC.故可得∠AOD=∠AOF,利用SAS证明△AOD≌△AOF,由ADO=90°得到AH⊥OF,即可证明;
(3)根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2,再利用在Rt△ABH中,AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.
(1)解:连接AO,四边形AECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵E是AB的中点,
∴AE=AB.
∵CD是⊙O的直径,
∴OC=CD.∴AE∥OC,AE=OC.
∴四边形AECO为平行四边形.
(2)证明:由(1)得,四边形AECO为平行四边形,
∴AO∥EC
∴∠AOD=∠OCF,∠AOF=∠OFC.
∵OF=OC
∴∠OCF=∠OFC.
∴∠AOD=∠AOF.
∵在△AOD和△AOF中,AO=AO,∠AOD=∠AOF,OD=OF
∴△AOD≌△AOF.
∴∠ADO=∠AFO.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADO=90°.
∴∠AFO=90°,即AH⊥OF.
∵点F在⊙O上,
∴AH是⊙O的切线.
(3)∵HC、FH为圆O的切线,AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF,CH=FH=2,
设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2,
在Rt△ABH中,AH2=AB2+BH2,
即(x+2)2=62+(x-2)2,
解得x=
∴AH=+2=.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是9,点E是AB边上的一个动点,点F是CD边上一点,CF=4,连接EF,把正方形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在点A′,D′处,当点D′落在直线BC上时,线段AE的长为_____.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点A(a,0)、B(b,0)、C(0,2a)(b>a>0),作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C, 若点B1恰好落在y轴上,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为直线AC下方抛物线上一动点;
①连接CD,是否存在点D,使得AC平分∠OCD?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
②在①的条件下,若P为抛物线上位于AC下方的一个动点,以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S,则S取何值或在什么范围时,相应的点P有且只有2个?
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【题目】数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处,第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处,第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An.(n≥3,n是整数)处,那么线段AnA的长度为________(n≥3,n是整数).
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,m+8),B(n,﹣6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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