【题目】已知一次函数y=x12的图象分别交x轴,y轴于A,C两点。
(1)求出A,C两点的坐标;
(2)在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC,若抛物线过A,B,C三点,求出此抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,设动点P、Q分别从A,B两点同时出发,以相同速度沿AC、BA向C,A运动,连接PQ,设AP=m,是否存在m值,使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出所有m值;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)A(16,0),C(0,12);(2);(3)
【解析】
(1)令直线的解析式y=0,可得A的坐标,令x=0,可得C的坐标
(2)要使△ACB∽△AOC,则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标,然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.
(3)本题可分两种情况进行求解:①当PQ∥BC时,△APQ∽△ACB;②当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.
(1)在一次函数y=x12中,当x=0时,y=12;
当y=0时,x=16,即A(16,0),C(0,12)
(2)过C作CB⊥AC,交x轴于点B,显然,点B为所求。
则OC2=OAOB,此时OB=9,可求得B(9,0);
此时经过A. B.C三点的抛物线的解析式为y=x2+x12
(3)当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB;则有:
=,即=,
解得m=.
当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB;有:
= ,即=,
解得m=.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t,则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,t=__________.
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【题目】如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置,以此类推,这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( )
A. 2017π B. 2034π C. 3024π D. 3026π
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【题目】如图,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),下列结论中,正确的一项是( )
A.abc<0B.2a+b<0C.a-b+c<0D.4ac-b2<0
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点O为坐标原点,点A(0,4).△AOB是等边三角形,点B在第一象限.
(1)如图①,求点B的坐标;
(2)点P是x轴上的一个动点,连接AP,以点A为旋转中心,把△AOP逆时针旋转,使边AO与AB重合,得△ABD.
①如图②,当点P运动到点(,0)时,求此时点D的坐标;
②求在点P运动过程中,使△OPD的面积等于的点P的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】如图,∠MON=45°,线段AB在射线ON上运动,AB=2.
(1)如图1,已知OA=AB,AC=BC,∠ACB=90°,点C在∠MON内.
①求证:以点C为圆心,CA的半径的圆与射线OM相切(切点记为点P);
②∠APB的大小为 .
(2)如图2,若射线OM上存在点Q,使得∠AQB=30度,试利用图2,求A,O两点之间距离t的取值范围.
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【题目】如图1,圆O的两条弦AC、BD交于点E,两条弦所成的锐角或者直角记为∠α
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
的度数 | 30.2° | 40.4° | 50.0° | 61.6° |
的度数 | 55.7° | 60.4° | 80.2° | 100.3° |
∠α的度数 | 43.0° | 50.2° | 65.0° | 81.0° |
猜想: 、、∠α的度数之间的等量关系,并说明理由﹒
(2)如图2,若∠α=60°,AB=2,CD=1,将以圆心为中心顺时针旋转,直至点A与点D重合,同时B落在圆O上的点,连接CG﹒
①求弦CG的长;
②求圆O的半径.
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【题目】(问题背景)如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD, 探究线段AC,BC,CD之间的数量关系
小明同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90o到△AED处,点B,C分别 落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论:AC+BC= CD
(简单应用)
(1)在图1中,若AC=6,CD=,则AB= .
(2)如图3,AB是⊙O的直径,点C.D在⊙O上,∠C=45o,若AB=25,BC=24,求CD的长.
(拓展延伸)
(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD,若AC=,CD=,求BC的长.(用含,的代数式表示)
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