Question

【题目】（问题背景）如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90o，AD=BD， 探究线段AC，BC，CD之间的数量关系

小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D,逆时针旋转90o到△AED处,点B,C分别 落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论：AC+BC= CD

（简单应用）

(1)在图1中,若AC=6,CD=，则AB= .

(2)如图3,AB是⊙O的直径,点C.D在⊙O上,∠C=45o，若AB=25，BC=24，求CD的长．

（拓展延伸）

(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD,若AC=,CD=,求BC的长.(用含,的代数式表示)

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）

【解析】

（1）利用题中结论先计算出BC＝8，然后根据勾股定理计算AB的长；

（2）如图3，连接AC，AD，BD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据勾股定理计算出AC＝7，再证明AD＝BD，则可利用题中结论求出CD；

（3）根据圆周角定理可判断点C、D在以AB为直径的⊙O上，再利用DA＝DB得到∠DCB＝∠DAB＝45°，所以∠ACD＝135°，作DE⊥CD交BC于E，如图4，则△CDE为等腰直角三角形，所以CE= CD=,，然后证明△ACD≌△BED得到BE＝AC＝a，于是有BC＝CE＋BE＝．

(1)∵AC+BC=CD∴6+BC=×,∴BC=8，∴AB=10

(2)如图3，连接AC，AD，BD，

∵AB为直径，∴∠ACB=90o，

∴AC=

∵∠BCD=45，

∴∠ACD=∠BCD=45o，

∴AD=BD，

∴AC+BC=CD, 即7+24=CD，

∴CD=

(3)∵∠ACB=∠ADB=90o，∴点C.D在以AB为直径的⊙O上，

∵DA=DB，∴∠DAB=45，∴∠DCB=∠DAB=45o，∴∠ACD=135o，

作DE⊥CD交BC于E，如图4，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴CE= CD=,∠CED=45o，

∴∠BED=135，

在△ACD和△BED中

∴△ACD≌△BED(ASA)，

∴BE=AC=a，∴BC=CE+BE=