【题目】(1)解方程:x2﹣5=4x.
(2)如图,四边形ABCD中,∠C=60°,∠BED=110°,BD=BC,点E在AD上,将BE绕点B逆时针旋转60°得BF,且点F在DC上,求∠EBD的度数.
【答案】(1)x1=5,x2=﹣1;(2)∠EBD=10°.
【解析】
(1)利用因式分解法解方程即可;
(2)证明△BCD是等边三角形,得出∠DBC=60°,由旋转的性质得出∠EBF=60°,BE=BF,得出∠EBD=∠FBC,证明△BDE≌△BCF(SAS),得出∠BDE=∠C=60°,由三角形内角和定理即可得出答案.
解:(1)x2﹣5=4x;
原方程变形得:x2﹣4x﹣5=0,
因式分解得:(x﹣5)(x+1)=0,
于是得:x﹣5=0,或x+1=0,
∴x1=5,x2=﹣1;
(2)∵∠C=60°,BD=BC,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠DBC=60°,
由旋转的性质得:∠EBF=60°,BE=BF,
∴∠EBD=∠FBC,
在△BDE和△BCF中,,
∴△BDE≌△BCF(SAS),
∴∠BDE=∠C=60°,
∴∠EBD=180°﹣∠BED﹣∠BDE=180°﹣110°﹣60°=10°.
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【题目】如图1,圆O的两条弦AC、BD交于点E,两条弦所成的锐角或者直角记为∠α
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
的度数 | 30.2° | 40.4° | 50.0° | 61.6° |
的度数 | 55.7° | 60.4° | 80.2° | 100.3° |
∠α的度数 | 43.0° | 50.2° | 65.0° | 81.0° |
猜想: 、、∠α的度数之间的等量关系,并说明理由﹒
(2)如图2,若∠α=60°,AB=2,CD=1,将以圆心为中心顺时针旋转,直至点A与点D重合,同时B落在圆O上的点,连接CG﹒
①求弦CG的长;
②求圆O的半径.
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【题目】(问题背景)如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD, 探究线段AC,BC,CD之间的数量关系
小明同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90o到△AED处,点B,C分别 落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论:AC+BC= CD
(简单应用)
(1)在图1中,若AC=6,CD=,则AB= .
(2)如图3,AB是⊙O的直径,点C.D在⊙O上,∠C=45o,若AB=25,BC=24,求CD的长.
(拓展延伸)
(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90o,AD=BD,若AC=,CD=,求BC的长.(用含,的代数式表示)
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),顶点为D,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及D点坐标;
(2)在直线AC上方的抛物线上是否存在点E,使得∠ECA=2∠CAB,如果存在这样的点E,求出△ACE面积,如果不存在,请说明理由.
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【题目】在矩形ABCD中,P是AD的中点,连BP,过A作BP的垂线,垂足为F,交BD于E,交CD于G.
(1)若矩形ABCD是正方形,如图1,
①求证:AG=BP.
②的值为 .
(2)类比:如图2,在矩形ABCD中,若2AB=3AD,求的值.
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【题目】如图1,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点F,G,H分别是BE,CD,BC的中点
(1)观察猜想:图1中,△FGH的形状是______.
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,△FGH的形状是否发生改变?并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=2,AB=6,请直接写出△FGH的周长的最大值.
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【题目】(问题背景)先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:解一元二次不等式x2﹣4>0
(问题解决)∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
∴x2﹣4>0可化为(x+2)(x﹣2)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
解不等式组①,得x>2,
解不等式组②,得x<﹣2,
∴(x+2)(x﹣2)>0的解集为x>2或x<﹣2,
即一元二次不等式 x2﹣4>0 的解集为x>2或x<﹣2.
(问题应用)(1)一元二次不等式 x2﹣16>0 的解集为 ;
(2)分式不等式>0 的解集为 ;
(3)(拓展应用)解一元二次不等式 2x2﹣3x<0.
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【题目】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是
A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
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【题目】定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数。例如:一次函数y=x1,它们的相关函数为y= .
(1)已知点A(5,8)在一次函数y=ax3的相关函数的图象上,求a的值;
(2)已知二次函数y=x+4x .
①当点B(m, )在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;
②当3x3时,求函数y=x+4x的相关函数的最大值和最小值.
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