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【题目】如图1,在等边△ABC中,点DE分别在边ABAC上,ADAE,连接BECD,点FGH分别是BECDBC的中点

(1)观察猜想:图1中,△FGH的形状是______.

(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,△FGH的形状是否发生改变?并说明理由;

(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD2AB6,请直接写出△FGH的周长的最大值.

【答案】(1)等边三角形;(2)不发生改变,理由见解析;(3)PMN的周长的最大值为12.

【解析】

(1)观察猜想:

如图1,先根据等边三角形的性质得到ABAC,∠ABC=∠ACB60°,则BDCE,再根据三角形中位线性质得FHCEFHCEGHADGHBD,从而得到FHGH,∠FHG60°,从而可判断FGH为等边三角形;

(2)探究证明:

连接CEBD,如图2,先利用旋转的定义,把ABD绕点A逆时针旋转60°可得到CAE,则BDCE,∠ABD=∠ACE,与(1)一样可得FHCEFHCEGHADGHBD,可得FHGH,∠BHF=∠BCE,∠CHG=∠CBD,则计算出∠BHF+CHG120°,从而得到∠FHG60°,于是可判断FHG为等边三角形.

(3)拓展延伸:

利用ABAD≤BD≤AB+AD(当且仅当点BAD共线时取等号)得到BD的最大值为8,则GH的最大值为4,然后可确定FHG的周长的最大值.

解:(1)观察猜想:

如图1,∵△ABC为等边三角形,

ABAC,∠ABC=∠ACB60°

ADAE

BDCE

∵点FGH分别是BECDBC的中点

FHCEFHCEGHADGHBD

FHGH,∠BHF=∠BCA60°,∠CHG=∠CBA60°

∴∠FHG60°

∴△FGH为等边三角形;

故答案为:等边三角形;

(2)探究证明:

PMN的形状不发生改变,仍然为等边三角形.

理由如下:连接CEBD,如图2

ABACAEAD,∠BAC=∠DAE60°

∴把ABD绕点A逆时针旋转60°可得到CAE

∴△ABD≌△ACE

BDCE,∠ABD=∠ACE

(1)一样可得FHCEFHCEGHADGHBD

FHGH,∠BHF=∠BCE,∠CHG=∠CBD

∴∠BHF+CHG=∠BCE+CBD=∠ABC﹣∠ABD+ACB+ACE60°+60°120°

∴∠FHG60°

∴△FHG为等边三角形.

(3)拓展延伸:

GHBD

∴当BD的值最大时,GH的值最大,

ABAD≤BD≤AB+AD(当且仅当点BAD共线时取等号)

BD的最大值为2+68

GH的最大值为4

∴△PMN的周长的最大值为12.

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