Question

【题目】在矩形ABCD中，P是AD的中点，连BP，过A作BP的垂线，垂足为F，交BD于E，交CD于G．

（1）若矩形ABCD是正方形，如图1，

①求证：AG＝BP．

②的值为　 　．

（2）类比：如图2，在矩形ABCD中，若2AB＝3AD，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②；（2）．

【解析】

（1）①由题意可证△ABP≌△ADG，可得AG＝BP；

②由△ABP≌△ADG可得AP＝DG＝AB，根据平行线分线段成比例可得的值；

（2）由题意可证△ABP∽△ADG，可得2AP＝3DG，即可得AD＝3DG，2AB＝9DG，根据平行线分线段成比例可得的值．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD＝∠ADC＝90° AB＝AD

∴∠BAG+∠DAG＝90°

∵AG⊥BP

∴∠BAG+∠ABP＝90°

∴∠DAG＝∠ABP且AB＝AD，∠BAD＝∠ADG

∴△BAP≌△ADG

∴AG＝BP

（2）∵△BAP≌△ADG

∴AP＝DG

∵点P是AD中点

∴AP＝AD＝AB

∴DG＝AB

∵AB∥CD

故答案为

（3）∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD＝∠ADC＝90° AB∥CD

∴∠BAG+∠DAG＝90°

∵AG⊥BP

∴∠BAG+∠ABP＝90°

∴∠DAG＝∠ABP，∠BAD＝∠ADG

∴△BAP∽△ADG

∵2AB＝3AD

∴2AP＝3DG

∵P点是AD中点

∴AD＝2AP

∴AD＝3DG

∵2AB＝3AD

∴2AB＝9DG

∵AB∥CD