Question

4．（1）$\root{3}{2+\frac{2}{7}}$=2×$\root{3}{\frac{2}{7}}$．
（2）$\root{3}{3+\frac{3}{26}}$=3×$\root{3}{\frac{3}{26}}$．
（3）$\root{3}{4+\frac{4}{63}}$=4×$\root{3}{\frac{4}{63}}$…
（4）$\root{3}{5+\frac{5}{124}}$=5×$\root{3}{\frac{5}{124}}$．
根据以上规律，请写出第5个等式：$\root{3}{6+\frac{6}{215}}$=6×$\root{3}{\frac{6}{215}}$，
第100个等式：$\root{3}{101+\frac{101}{1030300}}$=101×$\root{3}{\frac{101}{1030300}}$．

Answer 1

分析 由“7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，124=5³-1”结合前四个等式的变化可找出“第n个等式为：$\root{3}{n+1+\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$=（n+1）•$\root{3}{\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$”，依此即可得出结论．

解答 解：∵7=2³-1，26=3³-1，63=4³-1，124=5³-1，…，
∴$\root{3}{2+\frac{2}{7}}$=$\root{3}{2+\frac{2}{{2}^{3}-1}}$=2×$\root{3}{\frac{2}{7}}$=2×$\root{3}{\frac{2}{{2}^{3}-1}}$，$\root{3}{3+\frac{3}{26}}$=$\root{3}{3+\frac{3}{{3}^{3}-1}}$=3×$\root{3}{\frac{3}{26}}$=3×$\root{3}{3+\frac{3}{{3}^{3}-1}}$，$\root{3}{4+\frac{4}{63}}$=$\root{3}{4+\frac{4}{{4}^{3}-1}}$=4×$\root{3}{\frac{4}{63}}$=4×$\root{3}{\frac{4}{{4}^{3}-1}}$，$\root{3}{5+\frac{5}{124}}$=$\root{3}{5+\frac{5}{{5}^{3}-1}}$=5×$\root{3}{\frac{5}{124}}$=5×$\root{3}{\frac{5}{{5}^{3}-1}}$，…，
∴第n个等式为：$\root{3}{n+1+\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$=（n+1）•$\root{3}{\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$．
∴第5个等式为：$\root{3}{6+\frac{6}{{6}^{3}-1}}$=$\root{3}{6+\frac{6}{215}}$=6×$\root{3}{\frac{6}{{6}^{3}-1}}$=6×$\root{3}{\frac{6}{215}}$；第100个等式为：$\root{3}{101+\frac{101}{10{1}^{3}-1}}$=$\root{3}{101+\frac{101}{1030300}}$=101×$\root{3}{\frac{101}{10{1}^{3}-1}}$=101×$\root{3}{\frac{101}{1030300}}$．
故答案为：$\root{3}{6+\frac{6}{215}}$=6×$\root{3}{\frac{6}{215}}$；$\root{3}{101+\frac{101}{1030300}}$=101×$\root{3}{\frac{101}{1030300}}$．

点评 本题考查了立方根以及规律型中数的变化类，分析各式根据数的变化找出变化规律是解题的关键．