【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F三点共线.
(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?
(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?
(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,得到△QFP和△PCE,则△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE
∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.
∵EF=EP,
∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB.
∵AB=4,
∴PB= ,
∴AP= .
∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2(∠QPA+∠CPB),
∴∠QPA+∠CPB=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠QPA=∠PCB,
在△QAP和△PBC中,
,
∴△QAP∽△PBC,
∴ ,
∴ ,
∴
(2)
解:由题意,得PF=EP+2或EP=FP+2.
当EP﹣PF=2时,
∵EP=PB,PF=AP,
∴PB﹣AP=2.
∵AP+PB=4,
∴2BP=6,
∴BP=3,
∴AP=1.
当PF﹣EP=2时,
∵EP=PB,PF=AP,
∴AP﹣PB=2.
∵AP+PB=4,
∴2AP=6.
∴AP=3.
故AP的长为1或3.
(3)
解:①若CE与点A在同一直线上,如图2,连接AC,点E在AC上,
在△AEP和△ABC中,
,
∴△AEP∽△ABC,
∴ .
设AP=x,则EP=BP=4﹣x,
在Rt△ABC中,
∵AB=4,BC=2,
∴AC=2 ,
∴ .
解得 .
②若CE与QF在同一直线上,如图3,
∵△AQP≌△EQP,△CPB≌△CPE,
∴AP=EP=BP,
∴2AP=4,
∴AP=2.
【解析】(1)做题首先要画示意图,如图.由折叠知,△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,进而可由AB边的关系知,若E平分FP,则BP= ,AP= .由已知分析易得CP⊥QP,则△QAP∽△PBC,即由边之间的成比例得关于AQ的方程,解出即可.(2)由(1)易得EP=BP,FP=AP,PB+AP=10.线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2,但有两种可能,PF=EP+2或EP=FP+2.于是得到两个关系式,易得结论.(3)“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者,思考点P运动即折纸特点,QF不能与A共线.当CE与QF共线时,P点恰为AB中点,如图,两线段都在CD上.当CE与A共线时,即连接对角线AC,CE在AC上,此时△AEP∽△ABC,进而AP的长易得.
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换(折叠问题)的相关知识,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等,以及对相似三角形的性质的理解,了解对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,给出下列结论: ①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a﹣2b+c>0,其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是 . (只填写序号)
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【题目】如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则 的值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字﹣1,﹣2,﹣3,﹣4的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为x;放回盒子摇匀后,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果;
(2)求小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=x﹣1图象上的概率.
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【题目】根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,请你依据以上知识,解决下面的实际问题.
为了解5路公共汽车的运营情况,公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量,并按载客量的多少分成A,B,C,D四组,得到如下统计图:
(1)求A组对应扇形圆心角的度数,并写出这天载客量的中位数所在的组;
(2)求这天5路公共汽车平均每班的载客量;
(3)如果一个月按30天计算,请估计5路公共汽车一个月的总载客量,并把结果用科学记数法表示出来.
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【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN,若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN,AM于点E,F,AE和BF交于点P.如图,点点同学发现当射线AM,BN交于点C;且∠ACB=60°时,有以下两个结论:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,当AM∥BN时:
(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出∠APB的度数,写出AF,BE,AB长度之间的等量关系,并给予证明;
(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5,若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32 ,求AQ的长.
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