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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F三点共线.

(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?
(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?
(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,得到△QFP和△PCE,则△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE

∴PA=PF,PB=PE,∠QPA=∠QPF,∠CPB=∠CPE.

∵EF=EP,

∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB.

∵AB=4,

∴PB=

∴AP=

∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2(∠QPA+∠CPB),

∴∠QPA+∠CPB=90°.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=90°,

∴∠CPB+∠PCB=90°,

∴∠QPA=∠PCB,

在△QAP和△PBC中,

∴△QAP∽△PBC,


(2)

解:由题意,得PF=EP+2或EP=FP+2.

当EP﹣PF=2时,

∵EP=PB,PF=AP,

∴PB﹣AP=2.

∵AP+PB=4,

∴2BP=6,

∴BP=3,

∴AP=1.

当PF﹣EP=2时,

∵EP=PB,PF=AP,

∴AP﹣PB=2.

∵AP+PB=4,

∴2AP=6.

∴AP=3.

故AP的长为1或3.


(3)

解:①若CE与点A在同一直线上,如图2,连接AC,点E在AC上,

在△AEP和△ABC中,

∴△AEP∽△ABC,

设AP=x,则EP=BP=4﹣x,

在Rt△ABC中,

∵AB=4,BC=2,

∴AC=2

解得

②若CE与QF在同一直线上,如图3,

∵△AQP≌△EQP,△CPB≌△CPE,

∴AP=EP=BP,

∴2AP=4,

∴AP=2.


【解析】(1)做题首先要画示意图,如图.由折叠知,△AQP≌△FQP,△CPB≌△CPE,进而可由AB边的关系知,若E平分FP,则BP= ,AP= .由已知分析易得CP⊥QP,则△QAP∽△PBC,即由边之间的成比例得关于AQ的方程,解出即可.(2)由(1)易得EP=BP,FP=AP,PB+AP=10.线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2,但有两种可能,PF=EP+2或EP=FP+2.于是得到两个关系式,易得结论.(3)“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者,思考点P运动即折纸特点,QF不能与A共线.当CE与QF共线时,P点恰为AB中点,如图,两线段都在CD上.当CE与A共线时,即连接对角线AC,CE在AC上,此时△AEP∽△ABC,进而AP的长易得.
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换(折叠问题)的相关知识,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等,以及对相似三角形的性质的理解,了解对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

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