【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN,若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN,AM于点E,F,AE和BF交于点P.如图,点点同学发现当射线AM,BN交于点C;且∠ACB=60°时,有以下两个结论:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,当AM∥BN时:
(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出∠APB的度数,写出AF,BE,AB长度之间的等量关系,并给予证明;
(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5,若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32 ,求AQ的长.
【答案】
(1)
解:原命题不成立,新结论为:∠APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB),
理由:∵AM∥BN,
∴∠MAB+∠NBA=180°,
∵AE,BF分别平分∠MAB,NBA,
∴∠EAB= ∠MAB,∠FBA= ∠NBA,
∴∠EAB+∠FBA= (∠MAB+∠NBA)=90°,
∴∠APB=90°,
∵AE平分∠MAB,
∴∠MAE=∠BAE,
∵AM∥BN,
∴∠MAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,
同理:AF=AB,
∴AF+BE=2AB(或AF=BE=AB)
(2)
解:如图1,
过点F作FG⊥AB于G,
∵AF=BE,AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AF+BE=16,
∴AB=AF=BE=8,
∵32 =8×FG,
∴FG=4 ,
在Rt△FAG中,AF=8,
∴∠FAG=60°,
当点G在线段AB上时,∠FAB=60°,
当点G在线段BA延长线时,∠FAB=120°,
①如图2,
当∠FAB=60°时,∠PAB=30°,
∴PB=4,PA=4 ,
∵BQ=5,∠BPA=90°,
∴PQ=3,
∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3.
②如图3,
当∠FAB=120°时,∠PAB=60°,∠FBG=30°,
∴PB=4 ,
∵PB=4 >5,
∴线段AE上不存在符合条件的点Q,
∴当∠FAB=60°时,AQ=4 ﹣3或4 +3
【解析】(1)由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA,从而得到∠APB=90°,最后用等边对等角,即可.(2)先根据条件求出AF,FG,求出∠FAG=60°,最后分两种情况讨论计算.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合),点Q在边AD上,将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠,使B点与E点重合,A点与F点重合,且P、E、F三点共线.
(1)若点E平分线段PF,则此时AQ的长为多少?
(2)若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2,则此时AP的长为多少?
(3)在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中,是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、AF、CE、CF.四边形AECF是什么样的四边形,说明你的道理.
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环 | 中位数/环 | 众数/环 | 方差 | |
甲 | a | 7 | 7 | 1.2 |
乙 | 7 | b | 8 | c |
(1)写出表格中a,b,c的值;
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
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【题目】如图,已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,且BC=10,∠BAC=90°,求BE的长.
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【题目】五一期间,小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动,在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向;然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与B之间的距离.(结果精确到0.1米)
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【题目】如图,⊙O1、⊙O2相内切于点A,其半径分别是8和4,将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时,则点O2移动的长度是( )
A.4
B.8
C.16
D.8或16
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【题目】如图所示,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°,面向小岛方向继续飞行10km到达B处,发现小岛在其正后方,此时测得小岛的俯角为45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行的高度(结果保留根号).
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