Question

【题目】如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧，例如，图中是△ABC其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是FO，FH的中点，△FOH的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】m≤1或m≥2．

【解析】

先判断出点P在线段MN的垂直平分线上，再求出点M，N，Q的坐标，再分点P在MN上方和下方，即可得出得出结论．

解：如图，连接MN，

由垂径定理可知，圆心P一定在线段MN的垂直平分线上，

作MN的垂直平分线QP，

∵M，N分别是FO，FH的中点，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），

∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），

若圆心在线段MN上方时，

设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心P在线段MN上方射线QP上均可，

∴m≥2，

当圆心在线段MN下方时，

∵OF＝OH，∠FOH＝90°

∴∠FHO＝45°，

∵MN∥OH，

∴∠FNM＝∠FHO＝45°，

作NG⊥FH交直线QP于G，QG＝NQ＝1，

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）的直线QP上时也符合要求；

∴m≤1，

综上所述，m≤1或m≥2，

故答案为m≤1或m≥2．