Question

【题目】如图是由若干个正方体形状的木块堆成的，平放于桌面上。其中，上面正方体的下底面的四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1．

（1）当只有两个正方体放在一起时，这两个正方体露在外面的面积和是 ；

（2）当这些正方体露在外面的面积和超过时，那么正方体的个数至少是多少？

（3）按此规律下去，这些正方体露在外面的面积会不会一直增大？如果会，请说明理由；如果不会，请求出不会超过哪个数值？（提示：所有正方体侧面面积加上所有正方体上面露出的面积之和，就是需求的面积，从简单入手，归纳规律．）

Answer 1

【答案】（1）7；（2）4个；（3）不会，理由见解析

【解析】

（1）若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：1+1×4=5；若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：1+（1+）×4=7；

（2）若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积=1+（1++）×4=8，这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是4个；

（3）若有n层，所以，露在外面的面积为：1+[1+++……+]×4＜1+2×4=9，即按此规律堆下去，总面积最大不会超过9．

解：（1）若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：1+1×4=5；

若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：1+（1+）×4=7；

（3）若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积=1+（1++）×4=8，

∴这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是4个；

（3）若有n层，所以，露在外面的面积为：1+[1+++……+]×4＜1+2×4=9，

∴按此规律堆下去，总面积最大不会超过9．