Question

14．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠C=90°，AE⊥BD，AE=$\frac{1}{2}$BD．求证：∠1=∠2．

Answer 1

分析 延长BC和AE交于点M，首先证明△AMC≌△BCD，可得AM=BD=2AE，再利用等腰三角形的性质解答即可．

解答 证明：延长BC和AE交于点M，如图：

∵∠C=90°，AE⊥BD，∠ADE=∠CDB，
∴∠1=∠MAC，
在△AMC与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠MAC}\\{∠ACM=∠DCB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BCD（AAS），
∴AM=BD，
∵AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AM，
∵AE⊥BD，
∴∠1=∠2．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是正确证明AM=BD=2AE．