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【题目】如图,直线y=kx+bx轴于点A(﹣1,0),交y轴于点B(0,4),过AB两点的抛物线交x轴于另一点C

(1)求直线AB的解析式;

(2)在该抛物线的对称轴上有一动点P,连接PAPB,若测得PA+PB的最小值为5,求此时抛物线的解析式及点P的坐标;

(3)在(2)条件下,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=4x+4;(2)y=-x2+x+4,P(1,);(3)存在这样的点Q,使ABQ为等腰三角形.Q1(1,),Q2(1,0),Q3(1,),Q4(1,﹣).

【解析】分析:(1)将点AB的坐标代入直线解析式求出kb的值继而得出直线的解析式;

(2)连接BCBC与对称轴的交点即是P点的位置根据PA+PB的最小值为5,可求出OC利用待定系数法可求出抛物线解析式直线BC解析式进而求出点P的坐标;

(3)设存在这样的点Q其坐标为(1,y),然后分三种情况讨论QA=QBBA=BQAB=AQ分别求出y的值后即可得出点Q坐标.

详解:(1)将点A(1,0),B(0,4)代入直线y=kx+b

得:

解得:

∴直线AB的解析式为y=4x+4;

(2)∵点AC关于抛物线的对称轴对称PA+PB的最小值为线段BC的长

BC=5,

RtBOCBC=5,BO=4,

OC=

∴点C的坐标为(3,0),

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x3),

将点B(0,4)代入得:a=

∴抛物线的解析式为:y=(x+1)(x3)=x2+x+4;

设直线BC的解析式为y=mx+n

将点B(0,4),C(3,0)代入可得

解得:

故直线BC的解析式为:y=x/span>+4,

又∵抛物线的对称轴为x=1,

∴当x=1时,y=

∴点P的坐标为(1,).

(3)存在这样的点Q使ABQ为等腰三角形.

Q(1,y),

有三种情况:

①当QA=QB则有12+(y4)2=(11)2+y2

解得:y=Q(1,);

②当BA=BQ可知Q(1,0),Q(1,8)(不合题意舍去);

③当AB=AQQ(1,)Q(1,).

所以满足条件的Q有四个:Q1(1,),Q2(1,0),Q3(1,),Q4(1,﹣).

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