【题目】如图,直线y=kx+b交x轴于点A(﹣1,0),交y轴于点B(0,4),过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C.
(1)求直线AB的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上有一动点P,连接PA、PB,若测得PA+PB的最小值为5,求此时抛物线的解析式及点P的坐标;
(3)在(2)条件下,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=4x+4;(2)y=-x2+x+4,P(1,);(3)存在这样的点Q,使△ABQ为等腰三角形.Q1(1,),Q2(1,0),Q3(1,),Q4(1,﹣).
【解析】分析:(1)将点A、B的坐标代入直线解析式,求出k、b的值,继而得出直线的解析式;
(2)连接BC,则BC与对称轴的交点即是P点的位置,根据PA+PB的最小值为5,可求出OC,利用待定系数法可求出抛物线解析式,直线BC解析式进而求出点P的坐标;
(3)设存在这样的点Q,其坐标为(1,y),然后分三种情况讨论,①QA=QB,②BA=BQ,③AB=AQ,分别求出y的值后即可得出点Q坐标.
详解:(1)将点A(1,0),点B(0,4)代入直线y=kx+b
得:,
解得:,
∴直线AB的解析式为y=4x+4;
(2)∵点A、点C关于抛物线的对称轴对称,故PA+PB的最小值为线段BC的长,
∴BC=5,
在Rt△BOC中,BC=5,BO=4,
∴OC=,
∴点C的坐标为(3,0),
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x3),
将点B(0,4)代入得:a=,
∴抛物线的解析式为:y=(x+1)(x3)=x2+x+4;
设直线BC的解析式为y=mx+n,
将点B(0,4),点C(3,0)代入可得,
,
解得:,
故直线BC的解析式为:y=x/span>+4,
又∵抛物线的对称轴为x=1,
∴当x=1时,y=,
∴点P的坐标为(1,).
(3)存在这样的点Q,使△ABQ为等腰三角形.
设Q(1,y),
有三种情况:
①当QA=QB时,则有12+(y4)2=(11)2+y2,
解得:y=,即Q(1,);
②当BA=BQ时,可知Q(1,0),Q(1,8)(不合题意,舍去);
③当AB=AQ时,Q(1,)或Q(1,).
所以满足条件的Q有四个:Q1(1,),Q2(1,0),Q3(1,),Q4(1,﹣).
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【题目】A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行,s(千米)表示汽车与甲地的距离,t(分)表示汽车行驶的时间,如图,L1,L2分别表示两辆汽车的s与t的关系.
(1)L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系?
(2)汽车B的速度是多少?
(3)求L1,L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式.
(4)2小时后,两车相距多少千米?
(5)行驶多长时间后,A、B两车相遇?
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【题目】如图,在ABCD中,CE平分∠BCD,且交AD于点E,AF∥CE,且交BC于点F.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)如图,若∠B=52°,求∠1的大小.
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【题目】小亮家与姥姥家相距24km,小亮8:00从家出发,骑自行车去姥姥家.妈妈8:30从家出发,乘车沿相同路线去姥姥家.在同一直角坐标系中,小亮和妈妈的行进路程S(km)与北京时间t(时)的函数图象如图所示.根据图象得到小亮结论,其中错误的是( )
A. 小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B. 妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C. 妈妈在距家12km处追上小亮
D. 9:30妈妈追上小亮
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【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=112°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:直线ON是否平分∠AOC?请说明理由;
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为多少?
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图所给图案,可看作是基本图形“______”经______次平移得到的,也可看作是基本图形“______”绕中心旋转______次得到,还可看作是基本图形“______”经轴对称得到整个图案的.
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【题目】上午9时,一条船从A处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处(如图).从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向,那么在B处船与小岛M的距离为( )
A. 20海里 B. 20海里 C. 10海里 D. 20海里
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【题目】如图,是大小相等的边长为1的正方形构成的网格,A,B,C,D均为格点.
(Ⅰ)△ACD的面积为_____;
(Ⅱ)现只有无刻度的直尺,请在线段AD上找一点P,并连结BP,使得直线BP将四边形ABCD的面积分为1:2两部分,在图中画出线段BP,并在横线上简要说明你的作图方法._____.
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