Question

4．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且BD=FD，求证：AE-BE=AF．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质得出DC=DE，再根据全等三角形的判定得出△ACD≌△AED，△FCD≌△BED，进而得出AC=AE，CF=BE，最后利用线段的和差解答即可．

解答 证明：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
同理可得Rt△FCD和Rt△BED，
∴AC=AE，CF=BE，
∴AE-BE=AF．

点评 本题考查了角平分线的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质证明．