Question

2．课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如甲、乙两图：

（1）如果该矩形纸片的长为8，宽为6，则甲、乙两图中的菱形周长分别为：20，24．（直接写出答案）
（2）这时老师说，这两位同学折出的菱形周长都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如丙图所示：在矩形ABCD中，设AB=6，AD=8，请你在图中画出周长最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的周长．
（3）借题发挥：如图丁，在正方形ABCD中，AB=6，若折叠该正方形，使得点D落在AB边上的点E处，折痕FG交AD于点F，交BC于点G，边DC折叠后EH与BC交于点M，设AE=a，试探究△EBM的周长与a的取值无关．

Answer 1

分析 （1）由菱形的周长公式边长×4求得；
（2）以BD为对角线，E、F分别在AD，BC上，且EF垂直平分BD，在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的长，即为DE的长，则周长=4DE；
（3）由于AE=a，BE=6-a，则在Rt△AEF中，根据勾股定理可求得AF的值，由角的关系可求得△AEF∽△BME⇒$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BM}$=$\frac{EF}{EM}$，求得BM，EM的长，则周长=12，所以与a的取值无关．

解答 解：（1）甲菱形的边长=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∴甲菱形的周长=5×4=20，
∵乙菱形是正方形，边长为6，则其周长=6×4=24，
故答案为：20，24；

（2）如图1设线段ED的长为x．
∵四边形BFDE是菱形∴ED=BE=x
又∵矩形ABCD中AB=6，AD=8，
∴AE=8-x，
在Rt△ABE中AE²+AB²=BE²，
∴（8-x）²+6²=x²，
解之得：x=$\frac{25}{4}$∴ED=$\frac{25}{4}$
∴菱形EBFD的周长=$\frac{25}{4}$×4=25，

（3）如图2：，由折叠的性质得：DF=EF，
设线段DF的长为x，则EF=x
∵AD=6，
∴AF=6-x，
∵AB=6，
∴AE=a，∴BE=6-a，
在Rt△AEF中有AE²+AF²=EF²
∴a²+（6-x）²=x²，
解得：x=$\frac{{a}^{2}+36}{12}$，
∴AF=6-x=$\frac{36{-a}^{2}}{12}$
在矩形ABCD中由于对折，
∴∠D=∠FEM=90°，∴∠1+∠2=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3
∴△AEF∽△BME，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BM}$=$\frac{EF}{EM}$，
∴BM=$\frac{12a}{6+a}$，EM=$\frac{{a}^{2}+36}{6+a}$，
∴△BME的周长=BM+EM+BE=12，
∴△BME的周长为12，与a的取值无关．

点评 本题考查了翻折的性质：对应角相等，对应边相等，以及菱形和正方形、矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的周长的求法等知识点．