Question

11．【课本知识】用配方法解方程、切线的性质定理、扇形面积公式．
尝试探究：代数式2x²+4x=2（x²+2x）=2（x²+2x+1-1）=2（x+1）²-2，则当x=-1时，该代数式有最小值，最小值为-2；
【实际应用】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别相切于A、B两点，∠CO₂D=60°，直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD分别交于E、F两点，EF=24cm，设⊙O₁的半径为x cm．
（1）用含x的式子表示扇形O₂CD的半径为（24-3x）cm；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm²和0.06元/cm²，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？最小成本为多少？

Answer 1

分析 尝试探究：直接利用偶次方的性质得出答案；
【实际应用】（1）连接O₁A．利用切线的性质知∠AO₂O₁=$\frac{1}{2}$∠CO₂D=30°；然后在Rt△O₁AO₂中利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得O₁O₂=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O₂CD的半径FO₂为：EF-EO₁-O₁O₂=24-3x；
（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．

解答 解：尝试探究：代数式2x²+4x=2（x²+2x）=2（x²+2x+1-1）=2（x+1）²-2，
则当x=-1时，该代数式有最小值，最小值为：-2；
故答案为：-1，-2．

【实际应用】（1）连接O₁A．
∵⊙O₁与O₂C、O₂D分别切一点A、B
∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，
∴∠AO₂O₁=$\frac{1}{2}$∠CO₂D=30°，
∴在Rt△O₁AO₂中，O₁O₂=2AO₁=2x．
∴FO₂=EF-EO₁-O₁O₂=24-3x，即扇形O₂CD的半径为（24-3x）cm．
故答案为：（24-3x）；

（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx²+0.06×$\frac{（360-60）π×（24-3x）^{2}}{360}$
=0.9πx²-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）²+14.4π
所以当x-4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O₁的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．

点评 本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、解直角三角形以及二次函数的最值．在利用二次函数求最值时，此题采用了配方法．