Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（-3，0），点C坐标为（0，$\sqrt{3}$），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c经过点A和点C
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（3）点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可；
（2）利用当AQ=QC，以及当AC=Q₁C时，当AC=CQ₂=2$\sqrt{3}$时，当AQ₃=AC=2$\sqrt{3}$时，分别得出符合题意的答案即可；
（3）利用平行四边形的性质首先得出BC的长，进而表示出线段ME的长，进而求出答案，再利用梯形的判定得出答案．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-3，0），点C坐标为（0，$\sqrt{3}$），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+bx+c经过点A和点C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}×（-3）^{2}-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$；

（2）在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，
当AQ=QC，如图1，
由（1）得：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即抛物线对称轴为：直线x=-1，则QO=1，AQ=2，
∵CO=$\sqrt{3}$，QO=1，
∴QC=2，
∴AQ=QC，
∴Q（-1，0）；
当AC=Q₁C时，过点C作CF⊥直线x=-1，于一点F，
则FC=1，
∵AO=3，CO=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴Q₁C=2$\sqrt{3}$，
∴FQ₁=$\sqrt{11}$，故Q₁的坐标为：（-1，$\sqrt{3}$+$\sqrt{11}$）；
当AC=CQ₂=2$\sqrt{3}$时，由Q₁的坐标可得；Q₂（-1，-$\sqrt{11}$+$\sqrt{3}$）；
当AQ₃=AC=2$\sqrt{3}$时，则QQ₃$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，故Q₃（-1，-2$\sqrt{2}$），根据对称性可知Q₄（-1，2$\sqrt{2}$）（Q₄和Q₃关于x轴对称）也符合题意，
综上所述：符合题意的Q点的坐标为：（-1，0）；（-1，$\sqrt{3}$+$\sqrt{11}$）；（-1，-$\sqrt{11}$+$\sqrt{3}$）；（-1，-2$\sqrt{2}$），（-1，2$\sqrt{2}$）；

（3）如图2所示，当四边形MEBC是平行四边形，则ME=BC，
∵AB=AC，且点A的坐标为（-3，0），点C坐标为（0，$\sqrt{3}$），
∴B（0，-$\sqrt{3}$），
则BC=2$\sqrt{3}$，
设直线AB的解析式为：y=kx+e，
故$\left\{\begin{array}{l}{-3k+e=0}\\{e=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{e=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故直线AB的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
设E（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$），M（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$），
故ME=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
解得：x₁=0（不合题意舍去），x₂=-1，
故P点在（-1，0），此时四边形MEBC是平行四边形；
四边形AECM是梯形，
理由：∵四边形MEBC是平行四边形，
∴MC∥AB，
∵CO=$\sqrt{3}$，AO=3，
∴∠CAO=30°，
∵AC=AB，AO⊥BC，
∴∠BAO=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC=BC，ME=BC，所以AC=ME，
∴四边形AECM是等腰梯形．

点评 此题主要考查了二次函数综合应用以及平行四边形的性质和梯形的判定、等腰三角形的判定等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．