Question

4．如图：已知正方形ABCD，动点M、N分别在DC、BC上，且满足∠MAN=45°，△CMN的周长为2，则△CMN面积的最大值是3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明△MAE≌△MAN，得到ME=MN，进而得到MD+BN=MN，从而求出CD=CB=1；设DM=x，BN=y，△CMN的面积为S，运用三角形的面积公式、勾股定理等知识得到结论：xy=s，x+y=1-s，此为解题的关键性结论；运用韦达定理的逆定理构造关于z的一元二次方程，借助△≥0，求出S的取值范围，即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，CD=CB；
如图，将△ABN绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AE=AN，DE=BN，∠DAE=∠BAN；
∴∠MAE=∠MAD+∠BAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAD+∠BAN=90°-45°=45°，
∴∠MAE=∠MAN；
在△MAE与△MAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠MAE=∠MAN}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△MAE≌△MAN（SAS），
∴ME=MN，
∴MD+BN=MN；
∴△MCN的周长=CM+CN+MN=CM+ME+CN=CM+DM+CN+BN=CD+CB=2，而CD=CB，
∴CD=CB=1；设DM=x，BN=y，△CMN的面积为S，
则S=${S}_{△CMN}=\frac{1}{2}CM•CN$=$\frac{1}{2}（1-x）（1-y）$，
整理得：x+y-xy=1-2S①；
由勾股定理得：MN²=CM²+CN²，
即（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²，
整理得：x+y+xy=1②，联立①②得：
xy=s，x+y=1-s，
∴x、y为方程z²-（1-s）z+s=0的两个根，
∴△≥0，即[-（1-s）]²-4s≥0，
解得：s$≤3-2\sqrt{2}$或s$≥3+2\sqrt{2}$（不合题意，舍去），
故答案为3-2$\sqrt{2}$．

点评 该题以正方形为载体，以旋转变换为方法，以考查正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等几何知识点为核心构造而成；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．