Question

12．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长．小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使CE=BM，连接AE，从而可证△ABM≌△ACE，并且△AME为等边三角形，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）延长MB至点E，使BE=MC，连结AE，根据等边三角形性质求出AC=AB，根据圆内接四边形的性质推出∠ABE=∠ACM，证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，证等边三角形AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；
（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推出AB=AC，根据SAS证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可．

解答 解：（1）如图1，延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACM}\\{BE=CM}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AMC（SAS），
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的长是3．

（2）分为两种情况：①如图2，AM=$\frac{a+b}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
理由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACM}\\{BE=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACM（SAS），
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM=$\frac{EM}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
即AM=$\frac{a+b}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
②如图3，
在CM上截取CN=BM，连接AN，
∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
则△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN=$\frac{b-a}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a），
即AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a）．
即AM的长是$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）或$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a）．

点评 本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线推出AM=BM+CM，两小题证明过程类似，都是通过作辅助线把AM、BM、CM放在一个三角形中，求出三者之间的关系，题目比较好，有一点难度．