Question

14．如图，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象相交于点A（-1，4），C（m，-2），AB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求函数y₁=ax+b与y₂=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）当x为何值时，y₂＞y₁；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得反比例函数的解析式，然后将点C的坐标代入求得点C的坐标，从而利用待定系数法确定一次函数是的解析式即可；
（2）根据求得的点A和点C的坐标结合函数的图象确定x的取值范围即可；
（3）分以OA为底边、以OA为腰且以A为顶点和以OA为腰且以O为顶点三种情况确定点P的坐标即可．

解答 解：（1）把点A（-1，4）代入y₂=$\frac{k}{x}$中，得4=$\frac{k}{-1}$
解得k=-4，即双曲线解析式为y₂=-$\frac{4}{x}$，
把点C（m，-2）代入y₂=-$\frac{4}{x}$中，得-2=-$\frac{4}{m}$
解得，m=2，
∴C（2，-2），
∵一次函数y₁=ax+b的图象经过A、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=4}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线解析式为y₁=-2x+2；
（2）∵一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象相交于A、C两点，坐标分别为（-1，4）、（2，-2）．
∴当y₂＞y₁时，-1＜x＜0或x＞2．
（3）如图，∵点A（-1，4），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
当以AO为底边时，由△P₁DO∽△ABO，
∴$\frac{{P}_{1}O}{AO}$=$\frac{OD}{OB}$，
即：$\frac{{P}_{1}O}{\sqrt{17}}$=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{1}$，
解得：P₁O=$\frac{17}{2}$，
∴点P₁的坐标为（-$\frac{17}{2}$，0）；
当以AO为腰以A为顶点时，
P₂B=BO=1，
此时点P₂的坐标为（-2，0）；
当以AO为腰以O为顶点时，
P₃O=P₄O=OA=$\sqrt{17}$，
此时点P₃的坐标为（-$\sqrt{17}$，0），点P₄的坐标为（$\sqrt{17}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数的综合知识，题目中涉及到了待定系数法确定反比例函数和一次函数的解析式及分类讨论的数学思想，知识点较多，难度较大．