Question

3．正方形ABCD中，对角线交于O点，AE⊥BE，BE交OA于点P，连接OE，求∠OEP的度数．

Answer 1

分析 延长AE交BD于点F，连接PF；先证明△ABP≌△DAF，得出AP=DP，OP=OF，求出∠OFP=45°，再证E、F、O、P四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．

解答 解：延长AE交BD于点F，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，OA=OD，∠BAD=∠ADC=90°，AC⊥BD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，
∴∠BAP=∠ADF=45°，∠2+∠BAE=90°，∠AOD=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠BAE=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABP和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\\{∠BAP=∠ADF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DAF（ASA），
∴AP=DF，
∴OP=OF，
∴∠OFP=45°，
∵∠BEF=∠AOD=90°，PF为公共斜边，
∴E、F、O、P四点共圆，
∴∠OEP=∠OFP=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及四点共圆的知识；本题难度较大，综合性强，特别是通过四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等得出结果．