Question

【题目】请完成下面的几何探究过程：

(1)观察填空

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则

①∠CBE的度数为____________；

②当BE=____________时，四边形CDBE为正方形．

(2)探究证明

如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则：

①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；

②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形

(3)拓展延伸

如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．

Answer 1

【答案】（1）①45°，②；（2）①，理由见解析，②见解析；（3）或

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性质得出，由旋转的性质得：，，证明，即可得出结果；

②由①得，求出，作于，则是等腰直角三角形，证出是等腰直角三角形，求出，证出四边形是矩形，再由垂直平分线的性质得出，即可得出结论；

（2）①证明，即可得出；

②由垂直的定义得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论；

（3）存在两种情况：①当时，证出，由勾股定理求出，即可得出结果；

②当时，得出即可．

解：（1）①，，

，

由旋转的性质得：，，

在和中，，

，

；

故答案为：；

②当时，四边形是正方形；理由如下：

由①得：，

，

作于，如图所示：

则是等腰直角三角形，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

又，

四边形是矩形，

又垂直平分，

，

四边形是正方形；

故答案为：；

（2）①，理由如下：

由旋转的性质得：，

，，

，

，

；

②，

，

由①得：，

，

又，

四边形是矩形；

（3）在点的运动过程中，若恰好为等腰三角形，存在两种情况：

①当时，则，

，，

，

，

，

，

，

；

②当时，；

综上所述：若恰好为等腰三角形，此时的长为或．