Question

12．如果一个等腰三角形的底边与腰的比值为m，而且m恰好是一元二次方程x²+x-1=0的正根，我们称这样等腰三角形为“黄金三角形”．已知等腰三角形ABC是黄金三角形，AB、AC是腰，延长BC到D，使得CD等于AC，连结AD，图中还有黄金三角形吗？有，请找出，并说明理由．

Answer 1

分析 根据黄金分割的概念、等腰三角形的性质列出方程，解方程即可．

解答 解：有，是△DBA．
设BC=x，AB=AC=y
∵底与腰的比为x²+x-1=0的正根，
∴${（\frac{y}{x}）^2}+\frac{y}{x}-1=0$，
去分母得y²+xy-x²=0，
整理得，y（x+y）=x²，
又∵在△ABC和△DBA中，
∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
∵△ABC是黄金三角形，底边与腰的比值为方程x²+x-1=0的正根，
∴△DBA亦然，△DBA也是黄金三角形．

点评 本题考查的是黄金分割的概念、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，掌握黄金分割的概念、正确解出一元二次方程是解题的关键．