Question

14．已知：如图，正方形ABCD中，O是BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有怎样的位置关系？证明你的结论．
（3）若CE=1，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得BC=DC，∠BCD=90°，然后根据“SAS”可判断△BCE≌△DCF；
（2）由正方形的性质易证Rt△BCE≌Rt△DCF，则∠CBE=∠CDF，利用三角形内角和定理可得到∠EHD=∠BCE=90°，而BE平分∠DBC，根据等腰三角形的性质得到BH平分DF，即HD=HF，易得OH为△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质得OH∥BF，即可得到OG∥BF；
（3）设正方形的边长为x，则BF=BC+CF=BC+CE=x+1，BD=x+1，根据勾股定理得到BC²+CD²=BD²，即x²+x²=（x+1）²，解得：${x}_{1}=1-\sqrt{2}$（舍去），${x}_{2}=1+\sqrt{2}$，即可得到${S}_{正方形ABCD}=（1+\sqrt{2}）^{2}$=3+2$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）OG∥BF，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而点O为正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH为△DBF的中位线，
∴OH∥BF，
∴OG∥BF．
（3）设正方形的边长为x，则BF=BC+CF=BC+CE=x+1，
∴BD=x+1，
∵∠BCD=90°，
∴BC²+CD²=BD²，
∴x²+x²=（x+1）²，
∴x²-2x-1=0，
解得：${x}_{1}=1-\sqrt{2}$（舍去），${x}_{2}=1+\sqrt{2}$，
∴${S}_{正方形ABCD}=（1+\sqrt{2}）^{2}$=3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及三角形中位线的性质，解决本题的关键是证明△BCE≌△DCF，得到相等的线段和角．