Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M在BC上，且BM=1，N是AC上一动点，则BN+MN的最小值为5．

Answer 1

分析 过点B关于AC的对称点B′连接MB′，过点B′作B′E⊥BC，垂足为E．由等腰三角形三线合一的性质可知DB=$\frac{1}{2}AC$=2$\sqrt{2}$，从而得到BB′=4$\sqrt{2}$，由∠B′BC=45°可求得B′E=BE=4，故此可知ME=3，由勾股定理可知MB′=5．

解答 解：过点B关于AC的对称点B′连接MB′，过点B′作B′E⊥BC，垂足为E．

∵点B与B′关于AC对称，
∴BB′⊥AC，BD=DB′．
∵∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴AC=$\sqrt{2}AB$=4$\sqrt{2}$．
∴BD=$\frac{1}{2}AC$=2$\sqrt{2}$．
∴BB′=4$\sqrt{2}$．
∵EB=B′E=4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=4，
∴ME=4-1=3．
在Rt△MB′E中，由勾股定理得：B′M=$\sqrt{M{E}^{2}+B′{E}^{2}}$=5．
故答案为：5．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短、勾股定理、等腰直角三角形的性质，明确当B′、N、M在同一条直线上时，BN+MN有最小值是解题的关键．