Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G是这个三角形的重心，联结CG并延长，交边AB于点D．
（1）当BG=BC时，求证：∠CBG=2∠A；
（2）当AC=

2

BC时，求证：BG⊥CD．

Answer 1

考点：三角形的重心,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD=CD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CDB=2∠A，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠BCD，即可得解；
（2）设BC=1，利用勾股定理求出AB，再根据三角形的重心求出DG、CG，再利用勾股定理逆定理证明．

解答：（1）证明：∵点G是△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴AD=BD=CD，
在△ACD中，∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，
在△BCD中，∠BCD=

1

2

（180°-∠CDB），
∵BG=BC，
∴∠BCD=

1

2

（180°-∠CBG），
∴∠CBG=∠CBD=2∠A，
即：∠CBG=2∠A；

（2）证明：设BC=1，则AC=

2

，
由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

2 2+12

=

3

，
∴BD=CD=

3

2

，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG=

2

1+2

CD=

3

3

，CG=

1

1+2

CD=

3

6

，
∵BC²-CG²=1²-（

3

3

）²=

2

3

，
BD²-DG²=（

3

2

）²-（

3

6

）²=

2

3

，
∴BC²-CG²=BD²-DG²，
∴BG⊥CD．

点评：本题考查了三角形的重心，等腰三角形两底角相等的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，三角形的重心的性质很多教材已经删去，可酌情使用．