Question

CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，
①如图（1），若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE

 

CF；
②如图（2），若∠α+∠BCA=180°，那么①中的结论仍然成立吗？请说明理由．
（2）如图（3），若直线CD经过∠BCA的外部，且∠α=∠BCA，若BE=3，AF=5，试求出EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据条件可以得出△BEC≌△CFA，就可以得出结论BE=CF；
②由条件可以得出∠CBE=∠ACF，可以得出△BEC≌△CFA，从而得出结论；
（2）如图3，由条件可以得出△BEC≌△CFA，就有BE=CF=3，CE=AF=5，就可以求出结论EF的值．

解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°．
∵∠BEC=∠CFA=∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠ACF．
在△BEC和△CFA中

∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF CB=AC

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，
故答案为：BE=CF；
②BE=CF
理由：∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠BEC+∠BCE+∠ACF=180．
∵∠BCE+∠CBE+∠BEC=180°，
∴∠ACF=∠CBE．
在△BEC和△CFA中

∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF CB=AC

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，
（2）∵∠BCE+∠CBE+∠BEC=180°，∠BEC=∠AFC=∠ACB=∠a，
∴∠BCE+∠CBE+∠ACB=180°．
∵∠BCE+∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠CBE=∠ACF．
在△BEC和△CFA中

∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF CB=AC

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，CE=AF．
∴CE+CF=BE+AF=3+5=8，
∴EF=8．
答：EF的值为8．

点评：本题考查了垂直的性质的运用，三角形内角和定理的运用，三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．