Question

3、已知：关于x的方程x²-kx-2=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，如果2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）只需证明△＞0即可．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，根据2（x₁+x₂）＞x₁x₂，代入即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．

解答：（1）证明：∵关于x的方程x²-kx-2=0中，△=（-k）²-4×（-2）=k²+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：设方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=k，x₁•x₂=-2，
代入不等式2（x₁+x₂）＞x₁x₂，得
2k＞-2，
k＞-1．
答：k的取值范围是k＞-1．

点评：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-$frac{b}{a}$，x₁x₂=$frac{c}{a}$．