Question

3．已知：A（a，0），B（-b，b），C（0，c）满足$\sqrt{a+b}$+|a-3|=0且（c+4）²≤0
（1）求四边形OABC的面积；
（2）在直线OB上求一点P，使得S_△POC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据已知和偶次方、绝对值、二次根式非负性，求出a、b、c值，进而求得A、B、C坐标，通过观察可以发现四边形OABC为直角梯形，利用梯形面积公式求出四边形OABC面积；
（2）首先求出三角形ABC面积，进而知道三角形POC面积，求出点P的横坐标，利用点B求直线OB直线解析式，将点P坐标代入直线OB即可求出点P坐标．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a+b}$+|a-3|=0且（c+4）²≤0，
∴$\sqrt{a+b}$=0，|a-3|=0且（c+4）²=0，
∴a=3，b=-3，c=-4，
∴A（3，0），B（3，-3），C（0，-4），
由点的特征知四边形OABC为直角梯形，
∴S_{四边形OABC}=$\frac{1}{2}$×（OC+AB）×OA，
=$\frac{1}{2}$×（4+3）×3，
=$\frac{21}{2}$．
答：四边形OABC的面积为$\frac{21}{2}$．

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×3=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{9}{4}$，
S_△POC=$\frac{9}{4}$，
设P（x，y）
即：$\frac{1}{2}$×OC×|x|=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×4×|x|=$\frac{9}{4}$，
解得x=±$\frac{9}{8}$，
∴P（±$\frac{9}{8}$，y）
设直线OB为y=kx，（k≠0），
将点B（3，-3）代入，
得k=-1，
∴直线OB解析式为：y=-x，
将点P代入得：
P（$\frac{9}{8}$，-$\frac{9}{8}$）或P（-$\frac{9}{8}$，$\frac{9}{8}$）．

点评 题目考查了平面直角坐标系中利用点的坐标求相关图形的面积，以及利用图形面积求动点的坐标，题目设计合理，可以考查学生的观察能力和解决问题能力．需要注意不要出现漏解现象．