Question

已知抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，-1），且S_△ABC=2，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，将抛物线与x轴的交点问题转化为根的判别式，列出不等式解答．
（2）利用根与系数的关系求得线段AB的长度，然后由三角形的面积公式列出关于m的方程，通过解放方程求得m的值．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，且m-1≠0，
∴（m-2）²-4×（m-1）（-1）＞0且m≠1，
整理得m²＞0且m≠1，
解得m≠0且m≠1．
故m≠0且m≠1时，抛物线与x轴有两个交点；

（2）设A（a，0），B（b，0）．则
a+b=

2-m

m-1

，ab=

1

1-m

．
则AB=|a-b|=

(a+b)2-4ab

=

( 2-m m-1 )2-4× 1 1-m

=|

m

1-m

|
所以

1

2

AB•OC=

1

2

×|

m

1-m

|×1=2，
解得 m=

4

5

或m=

4

3

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，注意：二次函数与一元二次方程的关系，还考查了一元二次方程根的判别式，难度不大，是基础题．