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【题目】如图①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).

(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是_____;
(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=AD,请给出证明;
(3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.

【答案】
(1)

解:正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,

∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,

∴∠APE=∠DPF,

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF(ASA),

∴AE=DF,

∴DE+DF=AD;


(2)

解:如图②,取AD的中点M,连接PM,

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形,

∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,

∴△MDP是等边三角形,

∴PM=PD,∠PME=∠PDF=60°,

∵∠PAM=30°,

∴∠MPD=60°,

∵∠QPN=60°,

∴∠MPE=∠FPD,

在△MPE和△DPF中,

∴△MPE≌△DPF(ASA)

∴ME=DF,

∴DE+DF=AD;


(3)

解:如图,

在整个运动变化过程中,

①当点E落在AD上时,DE+DF=AD;

②当点E落在AD的延长线上时,DF﹣DE=AD.

(如图3,取AD中点M,连接PM,证明△MPE≌△DPF)


【解析】(1)利用正方形的性质得出角与线段的关系,易证得△APE≌△DPF,可得出AE=DF,即可得出结论DE+DF=AD,
(2)取AD的中点M,连接PM,利用菱形的性质,可得出△MDP是等边三角形,易证△MPE≌△FPD,得出ME=DF,由DE+ME=AD,即可得出DE+DF=AD,
(3)①当点E落在AD上时,DE+DF=AD,②当点E落在AD的延长线上时,DF﹣DE=AD.
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识,掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半,以及对正方形的性质的理解,了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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比赛日期

2012﹣8﹣4

2013﹣5﹣21

2014﹣9﹣28

2015﹣5﹣20

2015﹣5﹣31

比赛地点

英国伦敦

中国北京

韩国仁川

中国北京

美国尤金

成绩(秒)

10.19

10.06

10.10

10.06

9.99

则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为(  )
A.10.06秒,10.06秒
B.10.10秒,10.06秒
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