【题目】如图①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).
(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是_____;
(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=AD,请给出证明;
(3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
【答案】
(1)
解:正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,
∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,
∴∠APE=∠DPF,
在△APE和△DPF中
∴△APE≌△DPF(ASA),
∴AE=DF,
∴DE+DF=AD;
(2)
解:如图②,取AD的中点M,连接PM,
∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形,
∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,
∴△MDP是等边三角形,
∴PM=PD,∠PME=∠PDF=60°,
∵∠PAM=30°,
∴∠MPD=60°,
∵∠QPN=60°,
∴∠MPE=∠FPD,
在△MPE和△DPF中,
∴△MPE≌△DPF(ASA)
∴ME=DF,
∴DE+DF=AD;
(3)
解:如图,
在整个运动变化过程中,
①当点E落在AD上时,DE+DF=AD;
②当点E落在AD的延长线上时,DF﹣DE=AD.
(如图3,取AD中点M,连接PM,证明△MPE≌△DPF)
【解析】(1)利用正方形的性质得出角与线段的关系,易证得△APE≌△DPF,可得出AE=DF,即可得出结论DE+DF=AD,
(2)取AD的中点M,连接PM,利用菱形的性质,可得出△MDP是等边三角形,易证△MPE≌△FPD,得出ME=DF,由DE+ME=AD,即可得出DE+DF=AD,
(3)①当点E落在AD上时,DE+DF=AD,②当点E落在AD的延长线上时,DF﹣DE=AD.
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识,掌握菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;菱形的面积等于两条对角线长的积的一半,以及对正方形的性质的理解,了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】2015年5月31日,我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中,获得好成绩,成为历史上首位突破10秒大关的黄种人.如表是苏炳添近五次大赛参赛情况:
比赛日期 | 2012﹣8﹣4 | 2013﹣5﹣21 | 2014﹣9﹣28 | 2015﹣5﹣20 | 2015﹣5﹣31 |
比赛地点 | 英国伦敦 | 中国北京 | 韩国仁川 | 中国北京 | 美国尤金 |
成绩(秒) | 10.19 | 10.06 | 10.10 | 10.06 | 9.99 |
则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为( )
A.10.06秒,10.06秒
B.10.10秒,10.06秒
C.10.06秒,10.08秒
D.10.08秒,10.06秒
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【题目】某宾馆准备购进一批换气扇,从电器商场了解到:一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元;三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元.
(1)求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元;
(2)若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
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【题目】育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动,需要选拔活动主持人,经过全校学生投票推荐,有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人.
(1)小明认为,如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人,不是男生就是女生,因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同,你同意他的说法吗?为什么?
(2)如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人,请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率.
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【题目】某超市计划经销一些特产,经销前,围绕“A:绥中白梨,B:虹螺岘干豆腐,C:绥中六股河鸭蛋,D:兴城红崖子花生”四种特产,在全市范围内随机抽取了部分市民进行问卷调查:“我最喜欢的特产是什么?”(必选且只选一种).现将调查结果整理后,绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图.
(1)请补全扇形统计图和条形统计图;
(2)若全市有280万市民,估计全市最喜欢“虹螺岘干豆腐”的市民约有多少万人?
(3)在一个不透明的口袋中有四个分别写上四种特产标记A、B、C、D的小球(除标记外完全相同),随机摸出一个小球然后放回,混合摇匀后,再随机摸出一个小球,则两次都摸到“A”的概率为_____.
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【题目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.
(1)如图①,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;
(2)如图②,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由;
(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含α的三角函数表示)
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